Alm. Arithmetik (f), Fr. Arithmétique (f), İng. Arithmetic. Matematik biliminin sayıları, bunların arasındaki bağıntıları ve işlemleri konu alan dalı. (Bkz. Matematik). Aritmetik kelimesi sayı anlamına gelen Yunanca “arithmos”tan gelmektedir. Sayı, özellikle hesap ve ölçü işlemlerine uygulanır.

Günümüzde kullanılan sayı sistemi 10 tabanına göre olup, Arap rakamlarına dayanmaktadır.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Romen sayıları :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I II III IV V VI VII VIII IX X

Seyrek olarak kullanılırsa da dört işlemleri mümkün olmadığı için terk edilmiştir. Bu sistemde sıfır sayısı da bulunmaz.

Pozitif sayılar için temel prensipler: İki kümenin elemanları eşleştirilerek bir eleman haline getirilirse esas sayılar elde edilir. Bu şekilde elde edilen bir kümenin elemanları 1, 2, 3, 4, ...... n şeklinde ise o zaman kümenin “n” tane sayı ihtiva ettiği söylenir. Böyle elde edilen sayılar tabii sayılar olarak bilinir. a elemanlarından meydana gelen bir A kümesi ile b elemanlarından meydana gelen bir B kümesi birleşerek a+b elemanlarından bir küme meydana getirilirse; a ve b’ye toplanan ve bu şekilde yapılan işleme de toplama işlemi adı verilir. + işareti artı diye okunur.

Toplama işlemiyle ilgili kurallar:

Toplamanın:

1. Değişme özelliği : a+b=b+a

2. Birleşme özelliği : a+(b+c) = (a+b)+c

Eğer a=b+k eşitliğini sağlayan pozitif bir k sayısı varsa; a, b’den büyüktür denir. a>b şeklinde gösterilir. Eğer a ve b herhangi iki pozitif sayı ise a=b, a<b veya a>b olur.

Ardarda yapılan toplama işlemiyle bir ikinci onluk sistem işlemi tarif edilebilir. 5+5+5 şeklindeki bir işlem 3x5 şeklinde gösterilebilir. Böylece yapılan işleme çarpma işlemi denir. 5 sayısı çarpılan, 3 sayısı çarpan, işlemin sonucu da çarpım diye isimlendirilir. x sembolü çarpı diye okunur. Genellikle a.b veya basitçe ab şeklinde de yazılabilir.

3. Çarpma işleminin değişme özelliği: ab=ba

4. Çarpma işleminin birleşme özelliği: a(bc)=(ab) c

5. Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği: (a+b)c=ac+bc

Ardarda toplanan k kadar a’nın ka yazıldığı gibi, ardarda çarpılan k kadar a da ak şeklinde yazılır. Burada a taban, k de üs diye adlandırılır.

Aşağıdaki formüller çarpma tanımından çıkarılabilir:

6. am.an=am+n

7. (am)n= amn

8. am.bm=(ab)m

9. am/an=am-n (m>n)

Bölme işlemi: Eğer üç pozitif a, b ve c sayıları arasında ab=c eşitliği sağlanıyorsa a ve b’ye, c’nin bölenleri ve a ile b, c’yi böler denir. b=a/c şeklinde yazılır.

Bölmede bir sayısı etkisiz elemandır ve bütün pozitif sayıların bölenidir. Eğer c sayısı, her biri birden büyük pozitif bir sayı olan a, b sayılarının bir çarpımı şeklinde ab ile gösterilirse c’ye asal olmayan sayı denir. Kendinden ve birden başka sayıya bölünmeyen sayılar asal sayılardır. 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

Pozitif sayılardan meydana gelen bir kümede bütün sayıları bölen en büyük sayıya ortak bölenlerin en büyüğü (o.b.e.b.) denir. Pozitif bir m sayısı diğer bir çok sayıların bir katı ise bu sayıya en küçük ortak katsayı adı verilir.

Bayağı kesirler: Bazı problemlerde bütün ölçüler her zaman tam sayılarla ifade edilemezler. Genel olarak d.(1/d)=1 özelliğinden faydalanarak kesir birimi 1/d şeklinde gösterilir. a/d kesrinde d’ye payda, a’ya da pay denir. a/d pozitif kesri eğer a<d ise basit; a>d ise bileşik kesir ismi verilir. Pozitif sayılar ve kesirler bazan pozitif rasyonel sayılar diye de isimlendirilir.

Genelde bütün pozitif rasyonel sayılar için geçerli olan yukarıda gösterdiğimiz ilk beş kural, bayağı kesirler için de geçerlidir. Kesir tanımından kolayca görüleceği gibi paydaları aynı olan iki kesir, toplamı verilen kesirlerin paylarının toplamı ile aynı paydadan meydana gelen bir kesirdir. Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için mesela a/d ve b/c kesirinde d ve c sayılarının en küçük ortak katları bulunur. m=k.d=f.c eşitliğini sağlayan k ve f sayıları bulunduktan sonra işlem şöyle olur:

a/d=ka/kd=ka/m; b/c=fb/fc=fb/m

böylece a/d+b/c=ka/m+fb/m=(ka+fb)/m

İki kesirin çarpımı ve bölümü aşağıdaki gibi tariflidir.

(a/d).(b/c)=(ab)/(bc), (a/b):(c/d)= (a/b).(d/c)= (ad/bc)

İrrasyonel sayılar: a/b şeklinde ifade edilemeyen sayılardır. 3 5, 2 gibi sayılar ve p (pi) bunlardandır.

İrrasyonel sayılarla ilgili formüller:

Onluk sistem: Bütün sayılar on’un kuvvetleri şeklinde ifade edilebilir. Mesela 32158= 3.104+2.103+1.102+5.101+8.100 taban olarak 10’luk sistemin kullanılması ellerde 10 parmağın olmasından ileri gelmektedir.