Alm. Algebra (f), Fr. Algébre (f), İng. Algebra. Rakamlar ve semboller kullanarak ve denklemler kurmak sûretiyle aritmetik işlemlerini genelleştirmiş olan matematik kolu. Aritmetikle cebir arasındaki fark, aritmetiğin müşahhas (somut) niceliklerle uğraştığı hâlde, cebirde kullanılan sembollerin değeri belli bir sayılar cisminin dışında kalabilir. Cebir, en genel şekliyle elemanter cebir ve modern cebir olmak üzere ikiye ayrılır:

Elemanter cebir: Pozitif ve negatif sayılar: 1,2,3, ..., n... gibi tabiî sayılar ile toplama işlemi her zaman yapılabilir. Fakat çıkarma işlemi her zaman mümkün değildir. Negatif sayılar kavramına geçilmesi bu sebepten olmuştur. Pozitif, negatif ve sıfır sayısının meydana getirdiği sayılar kümesi tam sayılar kümesini teşkil eder.

Bir sayının önündeki işâret, "ayırt edici" olarak nitelendirilir. Bu işâretin sayı önünden kalkmasıyla elde edilen tabiî sayı "mutlak değer"i olur. Aritmetik işlemler yapılırken işâretlerinin de önemli olduğu elemanter cebirde kuvvet alma, kök alma işlemleri temel yapıdır. Çok terimliler ve çok terimlilerin eşitlik şeklinde ifâdesi olan "denklemler" rasyonel veya irrasyonel olan cebrik ifâdelerdir. Bir denklemde bulunan bilinmeyenleri, bilinenler yardımıyla çözmek işlemine "denklemin çözümü" veya "denklemin köklerinin hesaplanması" denir. Bu denklem çözümleri cebirin temelini teşkil eder. Cebirin ilk temel kaidesi "n derece bir denklemin n tâne kökü vardır." ifâdesidir. Birinci derece denklemin bir, ikinci derece denklemin iki, üçüncü derece denklemin üç vs. kökü vardır. Denklem köklerinin hesaplanması derecesine ve bilinmeyen sayısına göre çeşitli usûllerle yapılabilmektedir.

Bir x,y koordinat eksen takımında, y= f(x) veya f (x,y)=0 şeklindeki denklemi sağlayan noktalar bir eğri olarak gösterilebilir.

Modern cebir: Temeli çok eskilerde atılmasına rağmen gelişmesi 20. asırda çok süratli olduğu için yeni bulunan bir matematik sistem gibi görülen, kümeler, cebri elemanter cebirde mümkün olmayan bâzı işlemleri ve kolaylıkları temin eder. Bunlara en basit bir örnek olarak cinsleri farklı elemanların birleştirilmesi (toplanması) verilebilir. Küme (cümle); ortak özellikleri hâiz elemanların topluluğudur. Bir küme parantezler içinde elemanlar arasında virgül (,) konulmak sûretiyle veya Venn diyagramları ile (kapalı bir eğri içerisinde elemanları göstermek sûretiyle) ifâde edilir. Parantezli yazılış da liste şeklinde yazılış ve kapalı yazılış olmak üzere ikiye ayrılır. Meselâ; alfabede bulunan sesli harflerin topluluğu bir A kümesi teşkil eder.

A= [a,e,ı,i,o,ö,u,ü] liste biçiminde yazılış

A=[x/x alfabesinin sesli harfleri] kapalı yazılış

Kümelerin üzerinde târif edilen pekçok işlem mevcuttur. Herhangi iki farklı kümedeki eleman sayıları birbirlerine eşitse bu iki küme birbirine denktir. Birleşme, kesişme, iki kümenin farkı gibi işlemler, târif edilen kümelerin geometrik açıklaması ile çok kolay ve anlaşılır bir durum alır. Bu şekildeki izah tarzı çok eskilerden beri kullanılageldiği hâlde ifâde çok değişik olmaktaydı. Sayı sistemlerinin kurulması, cebrin temelini teşkil eden mantık işlemlerinin Boole cebri ismiyle tamâmen farklı bir kol olarak ayrılması ve kümeler teorisindeki ileri seviyedeki çalışmaları günümüzdeki pekçok gelişmelerin de esâsı olmuştur. Ayrıca kümeler üzerinde çeşitli özellikler, bağıntılar, fonksiyonlar ve işlemler târif edilir. Grup, cisim, halka vs. bunlardan en temel olanlarıdır.

Târihi:

Bilinen en eski cebir kitabı Harezm Müslüman Türklerinden Mûsâ oğlu Mehmed’in 825 yılında yazdığı kitaptır. Kitabın adı El-Cebru vel-Mukâbele’dir. Bu kitaptaki cebir kelimesinin anlamı "bütünleme" yâni denklemin her iki tarafına aynı niceliğin (kemiyetin) ilâve edilmesidir. Avrupa bu kelimeye "büyük sanat" mânâsını vermiştir. Matematiğin geniş bir dalına ad olan "cebir" kelimesi bu eserden dilimize geçmiştir. Lâtince karşılığı algebre (Fransızca); algebra (İngilizce) olarak batı dillerine de yerleşmiştir.

Harezmî adı da batı bilim dünyâsında türlü türlü yazılış şekillerine sokulmuştur. Bunlardan "hesap metodu" anlamında olmak üzere Lâtincede "alkhorizmi" (bundan algoritma), Fransızcadan "algorithme" şeklinde kullanılmıştır. Arapçaya Mezopotamya dillerinden girdiği söylenen bu kelime batıda Arapça yazılış şeklini hatırlatacak biçimde kullanılmaktadır. Bu kelimenin terim anlamını Arapçadan kazandığı muhakkaktır.

Tarafsız olarak hazırlanmış matematik târihi eserlerinde "Cebir, sekiz ile on altıncı asır İslâm dünyâsı bilginleri tarafından ortaya koyulmuş ve geliştirilmiştir." diye yazmaktadır.

Harezmî, matematik, astronomi ve coğrafya konuları ile ilgili olarak çeşitli eserler ortaya koymuştur. Matematiğin geniş bir dalı olan "Cebir"in temellerini atıp geliştirmiştir. Çeşitli kaynaklar Harezmî’den "Harezmî’nin kurduğu cebir ilmi Batının Euckleides (Öklid)inden 1000 yıl ileridir." şeklinde bahsederler.

Harezmî, x2+21= 10x tipindeki denklemleri çözerken, bilinmeyenin bir değeri için (cezîr=kök) terimini kullanmıştır. Harezmî’nin "Al-Cebr" terimi 1202’de Leonardo Pisano (İtalyan) tarafından "Algebra" şeklinde Avrupa’ya sokulmuştur. On altıncı asırda bir aralık "Algeber" şekline giren bu kelimenin meşhur kimyâcı Câbir’in batıdaki adı olan Ceber’den türediği sanılmıştır. Cebir kaynakları içinde temel olarak bilinen, târif, izah ve formüllerin bir kısmını cebire ilk kazandıranların başında Ömer Hayyâm gelmektedir. Ömer Hayyâm ülkemizde zevk ve eğlence şâiri olarak sâdece edebî yönüyle bilinmektedir. Halbuki Batıda ise ünlü bir matematik ve astronomi bilgini olarak tanınır.

Bugünkü cebirde "Newton formülü" veya "Binom formülü" olarak bilinen formüldeki terimlerin katsayılarını pratik olarak veren:
(a+b)0 Ş 1
(a+b)1 Ş 1 1
(a+b)2 Ş 1 2 1
(a+b)3 Ş 1 3 3 1
(a+b)4 Ş 1 4 6 4 1
(a+b)5 Ş 1 5 10 10 5 1
.......................................

şeklindeki ifâdeyi "Paskal üçgeni" diye Batı kendisine mâl etmiştir. Aslında bu, Müslümanların eseri olup, Ömer Hayyâm’a âittir. Araplardan Ebû Kâmil (900 seneleri) ve El-Kerhî (1100 seneleri), Harezmî’nin açtığı çığırda yürümüşlerdir. On dördüncü asır sonunda Bursalı Kâdızâde Rûmî, Osmanlı Türklerinin ilk cebircisi ve matematikçisi olmuş, Timur Hanın torunu meşhur Uluğ Bey onu Semerkand Üniversitesinin rektörlüğüne (başkanlığına) getirmiştir. Semerkand rasathânesinin müdürü Gıyâsüddîn Cemşid ibni Mes’ûdü’l-Kâşî 1427’de El-Miftah fi’l Hisâb adlı eserini Uluğ Beye sunmuştur. Bu eserde Cemşîd, Batı dünyâsından en az bir asır ileride olarak, 3. dereceli denklemi çözmüştür. On beşinci yüzyılda Anadolu’da yerleşen Türklerden Fethullah Şirvânî ile Ali Kuşçu, Risâle fi’l-Hisâb adlı eseri, 16. yüzyılda da Mîrim Çelebi, Semerkand Türk okulunun geleneğini Türkiye cebirinde de devâm ettirmişlerdir.

Batıda yayınlanan ilk cebir kitabı on beşinci yüzyıl İtalyan matematikçisi Luca Pocioli’nin Summa de Arithmetica adlı eseridir. On altıncı yüzyılda Fransızlardan François Viete, nicelikleri harflerle gösteren sembolik bir cebir kitabı yazmıştır. Batı matematikçileri, cebirle ilgili eserlerini Harezmî’nin El-Cebr ve’l-Mukâbele eserini örnek alarak yazmışlardır.