Alm. Differentialrechnung (f), Fr. Calcul (m), differentiel, İng. Differential Calculus. Matematikte y= f(x) gibi bir fonksiyonda x bağımsız değişkeninde meydana getirilen sonsuz küçük dx artımına karşılık, bağımlı y değişkeninde meydana gelen dy artımı ile ilgili hesaplar. Kelime olarak fark anlamına gelir.

Türev: Matematik analizin önemli kavramlarından biri. Bir fonksiyonun sonsuz küçük değişimlerini inceleyen konu. En basiti dy/dx’tir ki, buna fonksiyonun incelenen noktadaki türevi denir. Geometrik olarak teğetin eğimi ile ilgilidir. Türevin değişik bir fizik karşılığı da, hareket hâlinde bulunan bir cismin âni hızıdır. Meselâ bir noktanın doğru üzerindeki hareketi belirli bir noktadan olan uzaklığı f (t) ile ölçülüyorsa, âni hızı df/dt olarak belirtilir. Eğer artımlar sonlu bir değerde iseler, meselâ y=f (x) fonksiyonunda x’deki Dx sonlu artımına Dy = f(x + Dx) - f(x) artımı karşı gelir. Dx ve Dy’ler küçüldükçe dx ve dy’e yaklaşırlar. Buna göre y= f(x)in x0 noktasındaki türevi:

f(x° + Dx) - f(x°) f(x) - f (x°)
f’(x°) = Lim ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = Lim ¾¾¾¾¾
Dx®0 Dx x®x° x-x°

dir.

y = f(x) her noktada türevli ise

dy df
y’ = ¾¾ = f’ (x) = ¾¾ =Dxf
dx dx

notasyonları kullanılır.

Maksimum ve minimum: sürekli fonksiyonların bir noktadaki teğeti yataysa bu nokta bir maksimum veya minimum nokta olabilir. Bu ise fonksiyonun türevi sıfıra eşitlenerek kolayca aranabilir.

Diferansiyel denklem: Matematiksel fizik ve kimyâda olayları kontrol eden ifâdeler genellikle fonksiyonu ve türevlerini ihtivâ ederler. İşte böyle aranan fonksiyonun türevlerini de ihtivâ eden denklemlere “diferansiyel denklem” denir. Meselâ dy/dx = -ky bir diferansiyel denklemdir.

Kısmî türev: Eğer U gibi bir fonksiyon x,y ve z gibi birden fazla bağımsız değişkene bağlı ise, U=U (x,y,z) bu hâlde türev işlemi her üç değişkene göre yapılabilir. Bu hâlde türevi alınmayan bağımsız değişken sâbit gibi kabûl edilir. Birden fazla bağımsız değişken olmasındaki bu özel durum:

yazılarak ayırt edilir. Bilinmeyen fonksiyonların bu çeşit türevlerini ihtivâ eden denklemlere ise kısmî türevli diferansiyel denklemler denir.

Zincir kâidesi: Bir fonksiyonun bağımsız değişkeni, başka bir bağımsız değişkenin fonksiyonu ise, yâni z=z (y) ve y=y (x) ise, ilk fonksiyonun esas bağımsız değişkene göre türevi zincir kâidesi denilen:

ifâdesine göre hesaplanır.

Diferansiyel geometri: Matematiğin, türev işleminin anlamlı olduğu uzayları bu vâsıta ile inceleyen koludur. Fonksiyonun bağımsız değişken sayısı uzayın koordinatlarına karşı getirtilebilir. İncelediği temel büyüklükler eğri, yüzey, teğet, düzlem, normal vektör olarak sayılabilir.

Târihî gelişim: Diferansiyel hesap üzerinde batıda ilk çalışan İngiliz İsaac Newton’dur. 1665’te yayınladığı çalışmalarında sonsuz küçük büyüklerden bahsetmiştir. Ancak daha büyük bir katkıya Alman Gottfriend Wilhelm Leibniz sâhiptir. 1673’te günümüzde de kullanılan dx sembolünü vermiştir. Almanya’da tutulmayan eseri, İsviçre’de Jakob ve Johann Bernoulli Kardeşler tarafından dikkatlice tâkip edilmiş ve verilen hesap metodları uygulanmıştır. Daha sonra bu alanda ilk çalışan İtalyan Jacopo Riccatti, Leonhard Euler, N.H. Abel ve Augustin Louis Cauchy olarak sayılabilir.