Alm. Progressionen, Fr. Progression, İng. Progression. Tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyon. Bu fonksiyonun değer kümesi reel sayılar ise, reel dizi; kompleks sayılar ise, kompleks dizi adını alır. n’inci görüntüsü olan f(n) = an ye genel terim denir. Terimleri a1, a2, ..., an ... olan bir dizi (a1, a2, ..., an ...) veya kısaca (an) şeklinde gösterilir. Örnekler:

1 1 1 1
1. (an) = (¾) = (1, ¾ , ¾ ,..... ¾ ,...) ® 0’dır.
n 2 3 n

2n+1 3 5 7 2n+1
2. (bn) = (¾¾) = (¾ , ¾ , ¾ ,...., ¾¾ ,...) ® 2’dir.
n+1 2 3 4 n+1

3. (cn) = (-1)nn = (-1, 2, -3, 4, ....., (-1)nn, .....)

4. (dn) = (2) = (2, 2, 2, ......., 2, ......) ® 2

Birinci dizi monoton azalan, ikinci dizi monoton artan dizilerdir. Her n için an>an+1 ise dizi monoton azalandır. an<an+1 ise dizi monoton artandır. Birinci dizinin bütün terimleri 0 ile 1 arasında, ikinci dizinin bütün terimleri ise 2 ile 3/2 arasındadır. Böyle alt ve üst sınırları olan dizilere sınırlı diziler denir. Bâzı dizilerin alt sınırı reel sayı olup, üst sınırı belli bir sayı olmaz veya tersi olur. Dizinin alt sınırına EBAS (en büyük alt sınır), üst sınırına da EKÜS (en küçük üst sınır) denir.

Bir dizinin yakınsaklığı: Genel terimin limiti belli bir sayı olan dizilere yakınsak dizi denir. Belli bir limiti yoksa veya birden fazla limiti varsa bu diziye ıraksak dizi denir. 1. ve 2. örnekteki dizilerin limitleri 0 ve 2 olduğundan yakınsaktırlar. 3. örnekteki dizinin içinde iki dizi vardır. Bunlar (-1, -3, -5, ... (-1)n n, ...) ve (2,4,6,8, ... (-1)n n, ...) dizileridir. Her iki dizinin de belli bir limiti yoktur. Bu dizi ıraksaktır. 4. örnekteki diziye sabit dizi denir. Sâbit dizilerde her n için an = an+1’dir. ((-1)n) dizisi de ıraksaktır. Bu dizi (-1, 1, -1, 1, -1, 1 ...) şeklindedir. İki farklı limiti vardır. Biri (-1) sâbit alt dizisinin limiti -1’dir. Diğeri (+1) sâbit alt dizisinin limiti 1’dir. Genel terimi (-1)n+(-1)n+1 olan dizi de sâbit (0) dizisidir. Sâbit dizilerin tek limiti olduğundan yakınsaktır.

Dizilerin birçok alt dizileri de vardır. Dizilerin dört işlemi tanımlanmıştır. Bir dizinin bir sayı ile çarpımı, dizinin bütün terimleriyle çarpımı demektir. Aritmetik ve geometrik diziler, çok kullanılan iki özel dizidir.

Aritmetik dizi: (a,a+r, a+2r, a+3r, ...) şeklinde dizidir. İlk terimi a, r ortak farkı sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere genel terimi:

an = a+(n-1) r

olan diziye aritmetik dizi denir.

a = 2, r = 3 için (an) = (2, 5, 8, 11, ...)dir.

a = 3, r = -2 için (an) = (3, -1, -3, -5, ...)dir.

Aritmetik dizinin ardışık üç terimi a1, a2, a3, ise:

a1+a3
a2 = ¾¾¾¾ veya 2a2 = a1+a3 dir.
2

Dizinin terimleri sonsuzdur. Terimleri belli sayıda olan bir diziye sonlu dizi denir.

Sonlu bir aritmetik dizinin özellikleri:

1. Aritmetik dizide herhangi bir terimden, kendinden önce gelen terim çıkarıldığında ortak fark bulunur. Yâni;

an-an-1 = r dir.

2. Bir aritmetik dizi (a1,a2, ... am ..., an ...) ise

an-am
r = ¾¾¾ dir.
n-m

3. Bir aritmetik dizide baştan ve sondan aynı uzaklıkta olan iki terimin toplamı, ilk ve son terimin toplamına eşittir. Yâni:

(a1, a2, a3 ... an-2 , an-1, an) bir aritmetik dizi ise

a1+ an = a2+an-1 = a3 + an-2 = ...= ap+an-p+1 dir.

4. Bir aritmetik dizide her terim kendinden eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortalamasıdır. Yâni:

ap-k+ap+k
ap = ¾¾¾¾¾ , 1 £ k < p’dir.
2

Yâni a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8 bir aritmetik dizi ise

a3+a5 a2+a6 a1+a7
a4 = ¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾¾ olur.
2 2 2

5. a ile b sayıları arasına bunlarla birlikte aritmetik dizi teşkil edecek şekilde n tane sayı yazılırsa, bu dizinin ortak farkı:

b-a
r = ¾¾¾ dir.
n+1

Meselâ 7 ile 23 arasına öyle üç tâne sayı yazalım ki bu beş sayı aritmetik dizi teşkil etsin:

23-7 16
r = ¾¾¾ = ¾¾¾ = 4 olur.
3+1 4

O halde bu üç sayı 11,15,19 sayılarıdır.

6. Sonlu bir aritmetik dizinin ilk n terim toplamı:

n
Sn = ¾¾ (a1+an) veya:
2

n
Sn = ¾¾ [2a1+(n-1)r] dir.
2

Meselâ (4,11,18,25, ...) dizisinin 10 terim toplamı:

10
S10 = ¾¾ (4+9.7) =5.67 = 335 bulunur.
2

Geometrik dizi: k, 0 ve 1’den farklı bir reel sayı olmak üzere (an) = (a, ak, ak2, ak3, ..., akn-1, ...) dizisine geometrik dizi denir. İlk terim olan a’yı sâbit bir k sayısı ile çarparak dizinin terimleri elde edilir. Geometrik dizinin genel terimi:

an = a.kn-1 dir. k>1 ise artan, a<k<1 ise azalan dizi olur.

Sonlu bir geometrik dizinin özellikleri:

1. Bir geometrik dizide bir terimin kendinden öncekine bölümü ortak çarpandır. Yâni:

an
¾¾ = k’dır.
an-1

a = 2, k = 3 için geometrik dizi, (2,6,18,54, ...) dır.

Bu dizide:

54 18 6
¾¾ = ¾¾ = ¾¾ = 3 olur.
18 6 2

2. Bir geometrik dizide her terimin karesi kendisinden önceki ve sonraki terimlerin çarpımıdır. Yâni:

a2n = an-1.an+1 dir.

3. Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan aynı uzaklıktaki iki terimin çarpımı, ilk ve son terimlerin çarpımına eşittir. Yâni:

a1.an = a2.an-1 = a3.an-2 = ... = ap.an-p+1’dir.

4. a ile b sayıları arasına bunlarla birlikte geometrik dizi teşkil edecek şekilde n tane sayı yazılırsa bu dizinin ortak çarpanı:

Meselâ 2 ile 162 arasına öyle üç sayı yerleştirelim ki, bu beş sayı bir geometrik dizi teşkil etsin. Bunun için;

bulunur.

İstenen sayılar: 6,18,54’tür.

5. Bir geometrik dizinin ilk n terim toplamı:

1-kn
Sn = a ¾¾ dir.
1-k

1 1 1
Meselâ (2, 1, ¾, ¾, ¾, .....)
2 4 8

dizisinin ilk 10 terim toplamı:

bulunur.