Alm. Grenze (f), Fr. Limite (f), İng. Limit. Matematik analizde kullanılan temel bir kavram. Euclid veArchimedes tarafından eğrisel kenarlara sâhip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır. Meselâ, dâireye, içine çizilecek çokgenlerle yaklaşmak, limit kullanarak mümkündür. Önce bir kare ve daha sonra sekizgen çizilerek devam edilir. Her bir şekil bir öncekinden iki kat fazla kenara sâhib olur. Böylece daireye, alan ve çevre bakımından yaklaşmak mümkün olur. Eğer p1, ilk çizilen karenin çevresi ise ve karenin bir kenarının daire merkezine dik uzaklığa a1 ile gösterilirse, karenin alanı; (P1/2) a1 olur. İkinci şekil olan düzgün sekizgende ise benzer şekilde çevre P2 ve merkezin bir kenara olan dik uzaklığı a2 ile gösterilirse, alanı (P2/2) a2 olur. Bu böyle devam edilirse n, çokgen için (Pn/2) an yazılır. Yani an dairenin r yarıçapına yaklaştıkça, Pn çevresi de 2 p r’ye yaklaşır. Böylece dairenin alanı olan (Pn/2) an, giderek (2pr/2)r= pr2’ye yaklaşır.

Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile Leibniz’in eserlerinde görülmüştür. Meselâ, diferansiyel hesapta bir eğri (daire gibi) sonsuz küçük uzunlukta sonsuz kenara sâhip bir çokgen olarak kabul edilir. Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel hesap, pekçok fizik probleminin kolayca ele alınmasına sebep olmuştur. Tabii bu arada bir takım yanıltıcı problem çözümlerine de rastlanmıştır. Bunların çözümü daha sonra gelen matematikçiler tarafından yapılmıştır.

Meselâ, bu problemlere bir misal için, bir eşkenar üçgen düşünelim. Bu üçgenin kenarlarının orta noktalarından yan kenarlara paralel çizelim. Böylece ortaya çıkan iki eşkenar üçgende benzer işlemi tekrarlayalım. Her devrede (durumda) eşkenar üçgenlerin yan kenarların toplamı, ilk eşkenar üçgenin yan kenarları toplamına eşit olacaktır. Ancak, bu işleme devam edilirse, eşkenar üçgenlerle taban kenar arasında kalan alan sıfıra yaklaşır. Böylece şu iddia edilebilir ki, taban kenarın boyu yan kenarların toplamına eşittir. Ancak, bunun yanlış olduğu meydandadır. Burada yanıltıcı unsur, limit şekil ile buna yaklaşan şeklin özelliklerinin aynı olmamasındadır. Örnekte, taban kenar düz doğru olduğu halde buna yaklaşan şekil sonsuz sayıda köşelere sâhip bir kırık çizgidir.

Limitin aritmetik teorisi: Eğer a1, a2, a3 ... an, ... bir sayı dizisi ise bunun limitinin L olması için, verilen ve istenildiği kadar küçük olan bir e (epsilon) sayısına karşılık bir p sayısının, n>p ve |an-L|< e olmak üzere bulunabilmesidir. Meselâ:

mutlak değeri verilen her pozitif e değerinden küçük tutulacak şekilde n sayısı bulunabilir. Bu sonuç, = 1 şeklinde yazılabilir. Diğer bir limit örneği, meşhur dizisidir. Bunun n ® ¥ için limiti, matematik analizde çok kullanılan e= 2,71828... sayısıdır.

Eğer f (x) bir gerçel (reel) fonksiyonsa, yâni her gerçel (reel) x sayısına bir gerçel (reel) f(x) sayısı karşı geliyorsa, x değişkeni a değerine yaklaştığı zaman, f(x) de L sayısına yaklaşıyorsa f(x)in limiti L’dir denir ve