Alm. Matrize (f), Fr. Matrice (f), İng. Matrix. Bir köşeli büyük parantez içinde satır ve sütunlara yazılı terimlerden meydana gelen bir tablo. Matrislerin sayısal bir değeri yoktur. Her satırı ve sütunu birer vektör olarak düşünülür. Ayrıca her matris de kendi vektör uzayında bir vektördür. Satır ve sütundaki elemanlar reel veya kompleks olabilir. m satırlı, n sütunlu bir metriste her elemanı iki indis ile gösterilir. Meselâ aij elemanı, i inci satır, j inci sütunda bulunmaktadır. Böyle bir matris kısaca;

[aij]mxn

şeklinde gösterilir. Daha açık olarak:

şeklinde yazılır.

Bir matrisin sol üst köşesinden geçen köşegenine Asal Köşegen denir. Satır ve sütun sayıları eşit olan matrislere Kare Matris adı verilir.

Bir kare matrisin köşegeninin alt veya üstündeki elemanların hepsi sıfır ise bu matrise Üçgensel matris denir.

Bir kare matrisin yalnız köşegen elemanları sıfırdan farklıysa böyle matrise Diyagonal Matris; köşegen elemanları birbirine eşitse Skaler Matris; bu elemanların hepsi 1 ise Birim Matris adı verilir. Bütün elemanları sıfır olan matrise de Sıfır Matrisi denir.

Matrisler genellikle büyük harflerle gösterilirler. İki matrisin eşitliği, karşılıklı aynı indisli elemanların eşitliği ile mümkündür. Yâni her i,j ‰N için;

A= B ® [aij]mxn= [bij]mxn Ûaij= bij

olmalıdır.

Matrislerin toplamı:

A+B= [aij]mxn + [bij]mxn= [aij= bij]mxn

şeklinde yapılır. Skalerle çarpma ise;

kA= k[aij]mxn = [kaij]mxn

şeklindedir. Bunlarla ilgili özellikler aşağıdadır:

1. A+0= 0+A= ‡ (0, sıfır matrisidir)

2. A+B= B=‡ (Değişme özelliği)

3. (A+B)+C= A+(B+C) (Birleşme özelliği)

4. (k+s)A= kA+sA (k,sÎR)

5. k(sA)= (ks)A (k,sÎR)

6. A+(-1) A= 0

Bu özellikler sebebiyle mxn tipindeki matrisler kümesi reel sayılar kümesi üzerinde bir Vektör Uzayı teşkil ederler.

Matrislerin çarpımı:

Birinci matrisin sütun sayısı, ikinci matrisin satır sayısına eşit olan matrisler çarpılabilir. Yâni;

[aij]mxn [bij]nxp= [ai1 b1j+ai2b2j+...+ain bnj]

dir. Sonuç olarak bütün kare matrisler kendi aralarında değişmeli olarak çarpılabilir. Ancak:

AB ¹ BA

dır. Birim matris I ile gösterilir.

Matris çarpımı ile ilgili özellikler şunlardır:

1. AB ¹ BA

2. AI= IA= A

3. 0A= A0= 0

4. (AB) C= A(BC)

5. A(B+C)= AB+AC

6. k(AB)= (kA)B= A(kB)

Bir matrisin satırları sütun, sütunları satır yapılırsa bu matrisin transpozesi (devriği) bulunur. Bir A matrisinin transpozesi At dir. A= At ise A matrisine Simetrik Matris denir.

Bir matrisin tersi (İnversi):

Bir kare matrisin determinantı sıfırdan farklı olduğu zaman inversi vardır. Bir A matrisinin inversi A-1 şeklinde gösterilir. A matrisinin elemanlarının yerine bu elemanların kofaktörleri yazılıp transpozesi alınarak bu matrisin determinantına bölünürse A-1 invers matrisi bulunur. Yâni aij elemanının kofaktörü Aij olmak üzere;

A= [aij] ise A-1= [Aji]/detA

dır. Ayrıca;

AA-1= A-1A= I dır.

Matrislerin matematik, fizik, mühendislik, istatistik ve ekonominin pekçok dalında önemli bir yeri vardır.