1860’ta Ankara’da doğdu. Müderris Börekçizade Ali Kazım Efendi’nin oğludur. İlk ve orta öğrenimini, Sıbyan Mektebi ve Ankara Rüştiyesi’nde tamamladı. Sonra yüksek öğrenimi için İstanbul’a gitti. Orada Bezayit Medresesi Müderrislerinden Atıf Efendi’nin tedrisinde devam ederek ondan müderrislik icazeti aldı. İlk memuriyetine Ankara-Fazliye Medresesi öğretim üyesi olarak başladı. 23 Ekim 1898’de Ankara İstinaf Mahkemesi üyeliğine atandı. 13 Mayıs 1904’te yapılan seçimlerde üyelikten ayrıldı ise de 20 Temmuz’da yeniden üyeliğe getirildi. 25 Kasım 1908 tarihinde de Ankara Müftüsü oldu.

Ayrıca 1911 yılında bir müddet Sivrihisar Kaymakamlığı görevini de vekaleten yürüttü. Bu arada memuriyetinin yanı sıra, eğitim-öğretimle olan ilgisini devam ettirdi. Mehmet Rıfat Börekçi, Sivas Kongresi ile birlikte Anadolu’daki mücadeleye katıldı. 29 Ekim 1919 tarihinde, Ankara Müdafaa-i Hukuk Cemiyeti’nin kurulmasına öncülük yapanlardandı. Bu cemiyetin, Milli Mücadele’ye önemli katkısı olmuştur. Özellikle, Heyet-i Temsiliye ve Mustafa Kemal Paşa’nın Ankara’ya geldiği tarihe kadar olan sürede; Vilayet dahilinde teşkilatlanmaya önem verildiği, ülke içindeki diğer milli faaliyetlerle irtibatlı olarak gerektiğinde yardım veya yerine göre, milli birlik ve beraberliğin sağlanmasında her türlü destekte bulunulduğu görülmektedir.

Müftü Mehmet Rifat Efendi’nin Milli Mücadele lehindeki çalışmaları özellikle Ankara Fetvası’nı hazırlaması Damat Ferit ve Hükümetini çileden çıkardı. Bu nedenle ilk önce 24 Nisan 1920’de Padişah iradesiyle işten el çektirildiyse de Milli Hükümet tarafından Müftülük görevinde alıkonuldu. Daha sonra “Kuva-yı Milliye adı altında çıkarılan fetne ve fesadın hazırlayıcısı ve teşvikçilerinden olduğu” iddiasıyla I. Örf-i Divan-ı Harbi’nce ölüme mahkum edildi. TBMM’nin I. Dönemi için yapılan seçimlerde Menteşe (Muğla) Milletvekili olarak 23 Nisan 1920’de Meclis’in açılışında hazır bulundu.

5 Eylül 1920’de kabul edilen “Nisab-ı Müzakere Kanunu”, memurluk ile milletvekilliğinin bir kişi üzerinde bulunmasını yasaklamıştır. Bu sebeple, Ankara Müftülüğü’nü tercih ettiği Şer’iye ve Evkaf Vekaleti’nin 13 Ekim 1920 tarihli yazısıyla Meclis Başkanlığı’na bildirilmekle milletvekilliğinden istifası 27 Ekim 1920 tarihli birleşimde kabul edildi. 23 Aralık 1922’de Şer’iye ve Evkaf Vekaleti İfta Heyeti Üyeliği’ne atandı. 31 Mart 1924’te de yeni kurulan Diyanet reisliği’nin ilk başkanı oldu. Börekçe 5 Mart 1941’deki ölümüne kadar bu görevini sürdürdü.