Alm. İmaginâre Zahl (f), Fr. Nombre imaginaire (m), İng. İmaginary numbers. Gerçek olmayan (irreel), zihinde tasarlanan, hayâlî sayılar. Sanmak’tan sanal, daha çok matematikte kullanılan yeni bir terimdir. Bu sayıların birimi (i) harfiyle gösterilir. Karesi -1 olan sayıdır. Ancak hayâlimizde canlandırdığımız i= ÷-1 sayısı batı dillerindeki imaginen= Hayal etmek, sanmak kelimesinin baş harfinden alınmıştır.

Matematikte bir denklemin gerçek köklerinin olmadığı zaman ortaya çıkar. Cebirin temel teoremine göre bir denklemin derece sayısı kadar kökü olması gerekir. İkinci derece bir denklem olan x2+1= 0 denkleminin kökleri gerçek sayı olamaz. Çünkü x2= -1 olması gerekir. Karesi -1 olan gerçek sayı olamaz. Karesi -1 olan sayı i ile gösterilmiştir. Böylece x2+1= 0 denkleminin sanal iki kökü (i) ve (-1) olur. Cebirin temel teoremi de sağlanmış olur.

Gerçek ve sanal sayıların toplamından ibâret olan a+bi şeklindeki sayılara da kompleks sayı veya karmaşık sayı adı verilmiştir. Kompleks sayılar matematiğin geniş bir konusunu teşkil eder.

Gerçek sayılar, sayı ekseni denilen yönlü bir doğru üzerindeki noktalarla eşlenmiştir. Yâni, her gerçek sayıya sayı ekseni üzerinde bir nokta karşılık gelir. Sanal sayılara da reel (gerçek) eksene orijinde dik olan eksen üzerindeki noktalar karşılık gelir. Kompleks sayılar ise düzlemin noktaları ile birebir eşlenmiştir. Kompleks sayılar a+bi şeklinde gösterilirler.

a+bi sayısı genellikle z harfi ile gösterilir. z sayısının mutlak değeri veya modülü z= ÷a2+b2 ile gösterilir. r= |z|’dir. z sayısının bir de q argumanı vardır. q açısı tgq= b/a’dan hesaplanır. Burada a= rCosq, b=rSinq olduğundan, z=a+bi kompleks sayısının trigonometrik gösterilişi z= r (Cosq+iSinq) şeklindedir.