Alm. Zahlsysteme, Fr. Les systemes de nambre, İng. Systems of numbers. Bir saymada ve ölçmede kullanılan işâretler.

Sayılar ilk defâ Âdem aleyhisselâm tarafından kullanılmıştır. Çünkü Âdem aleyhisselâm yeryüzüne indirildikten sonra kendisine kitap gelip, fizik, kimyâ, tıp, eczâcılık ve matematik bilgileri öğretilmişti. Âdem aleyhisselâmdan sonra insanlara hesap ilmini İdris aleyhisselâm öğretti. Bu bigiler daha sonraları nesilden nesile aktarıldı.

Sayılar hakkında günümüze kadar ulaşabilen bâzı bilgiler Mısırlılardan ve Babillilerden alınmıştır. Mısırlılar sayılarla yaptıkları işlemleri taş ve papirüs, Babilliler ise kil plaklar üzerine kayıt ettiklerinden dayanıklı olmuştur.

Mısırlılar, sayıları hiyeroglif denilen resimlerle gösteriyorlardı. Bu gösteriş şeklinden dolayı hem büyük sayıları yazmak çok zor, hem de işlem yapmaya müsait değildi.

Daha sonra sayılara Yunanlılarda rastlanmıştır. Bunların başlangıcı Euclid (Oklid) tarafından yazılan Elemanlar kitabı olmuştur. Yunanlılar, sayılara Mısırlılar ve Babillilerden farklı yeni bir şey ekleyememişlerdir. Romalılar, Roma rakamlarını ortaya koyarak ve çıkarma metodunu kullanarak sayıları biraz daha basit yazmışlardır. Bunlar şu şekilde ifâde ediliyordu:

I (1), II (2), III (3), IV (4), V (5), VI (6), VII (7), VIII (8), IX (9), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).

M.S. 3. yüzyılda Avrupa’nın karanlık bir devre girmesiyle, bu sahada yapılan çalışmalar da kaybolup gitmiştir. Bu duruma sebep Hıristiyanlık, Mûsevîlik dinlerinin bozulup, bunlarda söz sâhibi olan kişilerin yanlış görüşlerinden dolayı, insanların koyu bir taassuba düşmeleriydi. Avrupa bu durumdayken sayılar ve sayı sistemleri en büyük gelişmesini, Müslüman Araplar zamânında gösterdi. Günümüzde kullanılan rakamlar, Araplardan alınmadır. Bu rakamlarla dört işlem yapmak kolaydır. Roma rakamlarıyla pratik bir işlem yapmak imkânsızdır.

Mekke’de doğan İslâm güneşinin, her yönden karanlık bir döneme düşen dünyâyı aydınlatmaya başlaması, insanların her yönden kurtulmasına sebep olmuştur. İslâmiyetin emirlerinden biri olan ilim öğrenmek ve öğretmek, Müslümanlar tarafından büyük bir gayretle yerine getirilmiştir. İslâm âlimleri ilk olarak, kendilerinden önceki bütün sayı ve sayı sistemlerini incelemişler ve bunları kitaplara geçirerek kaybolmaktan kurtarmışlardır.

780-850 yılları arasında yaşamış olan Mûsâ el-Harezmî rakamlara “0” (sıfır) ilâve ederek bugün kullandığımız sayıları meydana getirmiştir. Kitab el-Cebr ve’l-Mukâbele adlı kitabında en son sayı sistemlerini ortaya koymuştur.

Evet, sıfırın bulunuşu matematikte yeni bir devir açıyordu. İşte cebir ve geometrinin birden bire parlaması bir Müslüman âlimin sıfırı bulmasıyla başladı. Artık cebirin kullanışını trigonometri, dolayısıyla sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant gibi keşifler tâkip etti. İkinci ve üçüncü dereceden denklemler çözülmeye başlandı. Bu şekildeki çalışmalar, dünyâ medeniyetinin temelini atarken, astronomi, kimyâ ve fizik gibi ilimlerin de gelişmesine yardımcı oluyordu. Çünkü Akdeniz alanının hesaplanmasında, dünyâ çevresinin ölçülmesinde, kıble tâyininde, ramazanda da hilâlin görünüşünde ve takvimlerin hazırlanmasındaki çalışmalar yardımcı oluyordu. Bu bakımdan bilhassa matematik Müslümanların arasında ilk öğrenilen ilim dalları arasına girdi.

Ebû Kâmil Şücâ ('-951) kök, kare, bir ve iki bilinmeyenli denklem sistemini kurup geliştirmiştir. El Birûnî, bugünkü modern matematiğin temeli olan sayıları ikililer şeklinde gösterme şeklini ilk defâ ortaya koymuştur.

Ebü’l-Vefâ ve muasırı (aynı zamanda yaşayan) İbn-i Lebbân yazdıkları eserlerinde altılı sistemin özelliklerini ele almışlar ve ilgili bilgileri açıklamışlardır. El-Kâşî, yazdığı eserde meşhur p (pi) sayısını ondalık sistemde 16 hâneye kadar ve altılı sistemde 9 hâneye kadar hesap etmiştir. Gıyâseddîn Cemşid el-Kâşî ('-1429) ise, ondalık kesri keşfederek, ondalık sayı sistemlerini ortaya koymuştur.

On yedinci yüzyılın başlamasıyla sayı sistemlerinin muhtevâsı da gelişmiş pekçok yeni dallar araştırmaya açılmıştır. Jahonnes, Kepler, Blaise Pascal, Gerard, Desapguen, PereDes Carton gibi bilim adamları bugünkü modern sayı sistemlerini geliştirmişlerdir.

TABİÎ (DOĞAL) SAYILAR

Diferansiyel ve integral hesabın temelini teşkil eden tabiî (doğal) sayı denilen ve 0, 1, 2, 3, ... şeklinde gösterilen sayılar bir sayma ve sıralama ihtiyâcı olarak ortaya çıkmıştır. Tabiî sayıların teşkil ettiği küme {0,1,2,3,4, ...} şeklinde gösterilir.

Tabiî sayılar kümesinden sıfırı çıkartırsak geriye kalan sayılara sayma sayıları denir ve S= {1, 2, 3, 4....} şeklinde gösterilir. Günlük hayatta en çok kullanılan sayılardır: Kitap sayfa numaraları, bir otelin kat numaraları, bir salonun koltuk numaralarını göstermek için bu sayılar kullanılır. Bu şekilde sıralama göstermek için kullanılan sayılar kümesine “Ordinal” sayılar denir. Sayma sayıları aynı zamanda “Ne kadar'” sorusuna cevap olarak üç tâne, beş tâne gibi ifâdeleri söylemek için kullanılır. Böyle sayılara “Kordinal” sayılar denir. Bir kümenin elemanları sayılabilirse, kümeye sonlu ve sonlu bir kordinal sayıya sâhiptir denir. Meselâ, bir aydaki gün sayısı ne kadar çok olursa olsun, bir yıldaki dakika sayısı hep sonludur.

Kümenin elemanları sayılamıyorsa, küme sonsuz ve sonsuz bir kordinal sayıya sâhiptir denir. Meselâ, tabiî sayılar kümesi, sayma sayıları kümesi gibi.

Sayı Doğrusu: Matematikte sayı doğrusunun başlangıç noktası sıfırdır.

Sayı doğrusu üzerinde 0 (sıfır) ın sağında yer alan sayılara pozitif (işâreti artı), solunda yer alan sayılara negatif (işâreti eksi) sayılar denir.

Her sayı, ekseni üzerinde temsil edilen noktanın koordinatıdır; tersine eksen üzerindeki her nokta, sayıların koordinatlarının grafiğidir. Koordinatların ordinal özelliği noktaların sıralanışıyla aynıdır. Pozitif sayıların koordinatlarının kordinal özelliği, her noktanın ekseni başlangıç noktasından uzaklığının kaç birim olduğunu gösterir. Negatif sayıların başlangıç noktasına olan uzaklığı koordinatının mutlak değeri alınarak bulunur.

(-4) noktanın başlangıç noktalarına olan uzaklığı |-4|= 4 br. olarak bulunur.

Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir sayı karşılık gelir.

Tam sayılar: Birden başlayıp sonsuza kadar uzanan tam sayılara pozitif tam sayılar, -1’den başlayıp sonsuza kadar uzanan tam sayılara negatif tam sayılar denir. Pozitif tam sayılar ve negatif tam sayılara sıfırı ilâve edersek tam sayılar meydana gelir. Bu sayıların meydana getirdiği kümeye tam sayılar kümesi denir.

Z= {.... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} şeklinde gösterilir.

Rasyonel sayılar: p ve q tam sayılar kümesinin birer elemanı ve q¹0 olmak üzere p/q şeklinde yazılabilen herhangi bir sayıya rasyonel sayı, bu sayıların meydana getirdiği kümeye rasyonel sayılar kümesi denir.

R= {... -3, -5/2, -2, -3/2, ... -1, 0, 1/2, 1, 3/2...} şeklinde gösterilir.

Her tabiî ve tam sayı aynı zamanda birer rasyonel sayıdır.

İrrasyonel sayılar (Rasyonel olmayan): Bütün ölçmeler, birimler veya birimlerin kesirli kısımları ile yapılır. Dolayısıyla her ölçme, bir rasyonel sayı olarak ifâde edilebilir. Bununla berâber her uzaklık ölçümü bir rasyonel sayı ile gösterilse bile, rasyonel sayılarla ifâde edilemeyen uzunluklar da vardır. Meselâ, bir karenin kenarının uzunluğu 1 birim ise, köşegen uzunluğu ÷2 birimdir. ÷2 sayısı ise rasyonel sayı olarak ifâde edilmez. Bir çemberin çevresi ve çapı başka bir misal teşkil eder. Eğer bir çemberin çapının uzunluğu 3 birim ise, çevre uzunluğu 3p birim, eğer çap d birim ise çevre uzunluğu (pd) birimdir. Fakat p sayısı rasyonel sayı olarak ifâde edilemez.

Ö2, Ö3, p gibi sayılara irrasyonel sayılar ve bu sayıların meydana getirdiği kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.

Sayılar bütün uzaklıklarda temsil edilebilir ve bütün reel sayılar göz önüne alınarak elde edilen bir doğru üzerindeki bütün noktaların koordinatları olarak işe yararlar. Bütün noktaların koordinatlarından meydana gelen doğruya sayı doğrusu denir. Bir sayı doğrusunun noktalarıyla reel sayılar arasında bire bir eşleme vardır.

Kompleks sayılar: x2-2= 0 denkleminin çözüm kümesi {-Ö2, Ö2} dır.

x2+2= 0 denklemini hiçbir reel sayı gerçeklemez.

olarak alınır.

z= a+ib kompleks sayıların genel ifâdesidir. İki kısımdan meydana gelir: 1) Reel kısım, 2) Sanal kısım.

Asal sayılar: Kendisinden ve 1’den başka çarpanı olmayan pozitif sayıya asal sayı denir. Asal sayılar:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... sayılarından ibârettir.