Alm. Ableitung (f), Differentialquotient (m), Fr. Dérivé (m), İng. Derivative. Diferansiyel hesabın bir bölümü olarak matematik analizde kullanılan temel bir kavram. Türev (müştak) kelimesi; türemiş, başka şeyden çıkmış, anlamında genel olarak da kullanılır. Petrol türevleri gibi.

Matematikte bağımsız bir (x) değişkeniyle buna bağlı olarak değişen bir (y) değişkeni arasındaki ilişkiyi ifâde eden eşitliğe fonksiyon adı verilir. Bir fonksiyonda (y)nin (x)e göre âni (bir andaki) değişme nispetine türev denir. Birçok formüllerde bu nispetin tâyini gerekir. Meselâ serbest düşme, atış ve diğer hareket problemlerinde yolun zamana göre türevi, hızı ve hızın zamana göre türevi, ivmeyi (hızın birim zamandaki değişme miktarını) verir. Maksimum (azamî, en büyük) ve minimum (asgarî, en küçük) değerlerin bulunması için de türev alınıp sıfıra eşitlenir ve (x) hesaplanır. İkinci türev negatifse bu (x) için (y) maksimum aksi halde minimum olur. İkinci türevin sıfır olduğu nokta bir eğrinin büküm (yön değiştirme) noktasıdır. Herhangi bir eğrinin bir noktasındaki teğetinin eğimi türevin bu noktadaki değerine eşittir.

Türevi, Newton (y) ve Leibniz (dy/dx) şeklinde göstermiştir. Bu gösteriş x’in bağımsız değişken olduğunu ve türevin ortalama değişim miktarlarının oranını, belirttiğini ifâde eder. Buna karşılık bu gösteri türevin bölme işlemi sanılması gibi bir mahzura sâhiptir. Halbuki türev kesir (bölüm) hâlindeki bir fonksiyonun limiti olup, kendisi bir bölme değildir. Lagrange ise türevi (y’) ile göstermiştir. d/dx sembolü (türev alma operatörü) kendinden sonra gelen fonksiyon (x)e göre türevinin alınacağını ifâde eder.

Türevin aritmetik teorisi: Bir y= f(x) fonksiyonunda x, Dx kadar artınca, y, Dy kadar değişsin. Fonksiyondaki artışı değişkendeki artışa bölerek türev bulunur:

Bâzı türevler:

y= a= sâbit ® y’= 0

y= axn , y’= n.axn-1

y= sin x, y’= cos x

y= cos x, y’= -sin x

y= exy’= ex

y= lnx,y’ = l/x

u ve v, x’e bağlı iki fonksiyonsa:

y= u±v, y’= u’ ± v’

y= u,v, y’= u’v+v’u

y’nin x’in bir fonksiyonu olduğunu gösteren y= f(x) ifâdesinde türev, f’(x) şeklinde de yazılabilir. İkinci, üçüncü... türevler y”, y”’ olarak gösterilir.

Çok değişkenli fonksiyonlarda, değişkenlerden biri hâriç diğerleri sabit kabul edilerek alınan türeve bu değişkene göre kısmî türev adı verilir ve (¶y / ¶x) işâretiyle gösterilir. Uzaysal bir eğrinin eğimini bulmada, gaz karışımlarının kısmî basınçlarının hesabı gibi kısmî özellik hesaplarında kullanılır.