Alm. Dreieck (n), Fr. Triangle (m), İng. Triangle. Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarından meydana gelen geometrik şekil. Bu noktalara köşe, doğru parçalarına kenar ve kenarlar arasındaki açılara iç açı denir. Bir kenarla diğer bir kenarın köşeden dışarı taşan uzantısı arasında kalan açıya da dış açı denir. Üçgenin herhangi bir kenarı taban olabilir. Tabanın karşısındaki köşeye tepe, açısına da tepe açısı denir. Tepe noktasından tabana çizilen dik doğru parçasına ise yükseklik denir. Bir kenarın orta noktasını karşısındaki köşeye birleştiren doğru parçasına kenarortay, açıları ikiye bölen doğrulara ise açıortaylar denir. Üç köşeden geçen çembere üçgenin çevrel çemberi, kenarlara içten teğet olacak şekilde çizelen çembere de iç çember adı verilir. Çevrel çemberin merkezi, kenar orta dikmelerin kesişme noktasıdır. İç teğet çemberin merkeziyse iç açıortayların keşişme noktasıdır.

Üçgenler açılarına ve kenarlarına göre çeşitlere ayrılır. Üçgen bir düzlem üzerine çizilebildiği gibi bir küre yüzeyi üzerine de çizilebilir. Euclide geometrisi dışındaki diğer geometrilerde üçgenin özellikleri değişiklikler gösterir. Üçgenin bilinen özellikleri Euclid geometrisine göre olan özellikleridir. Buna göre bir üçgenin iç açıları toplamı 180° veya p (pi) radyandır. (Hiperbolik geometride 180°’den küçük, eliptik geometride büyük). Bütün açıları dar açı olan üçgenlere dar açılı üçgen, bir açısı geniş açı (90°’den büyük) olana geniş açılı üçgen, bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Kenarlarına göre ise kenarların eşit ve farklı olmalarına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenar olmak üzere üç çeşide ayrılır. Dik üçgende dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, iki dik kenarı eşit olan üçgene de ikizkenar dik üçgen adı verilir.

Üçgenlerle İlgili Özellikler ve Teoremler:

Üç kenar eşitse (eşkenar üçgen) iç açıların her biri 60°’dir.

Eşkenar Üçgen İkiz Kenar Üçgen

Dik Üçgen İkizkenar Dik Üçgen

Bir üçgende birden fazla geniş veya dik açı olamaz.

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Bir dış açı komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

İki kenarın toplam uzunluğu üçüncü kenardan dâima fazladır.

Üç kenarın orta dikmeleri bir noktada kesişir (çevrel çemberin merkezi).

İç açıortaylar bir noktada kesişir (iç çemberin merkezi).

Açıları eşit ve karşılıklı kenarı orantılı üçgenlere benzer üçgenler denir.

Euclide geometrisinde üçgen sinüs ve kosinüs teoremlerine göre incelenir. A,B,C açıları a,b,c de bunların karşılarındaki kenarlar, R çevrel çemberin yarıçapı olmak üzere sinüs teoremi,

a/Sin A= b/Sin B= c/Sin C= 2R olarak, kosinüs teoremi ise, a2= b2+c2-2bc-Cos a olarak ifâde edilir.

Dik üçgende hipotenüsün karesi diğer dik kenarların karelerinin toplamına eşittir. Bu özellik kosinüs teoreminin dik üçgenlere tatbik edilmesiyle ortaya çıkar ve pythagoras teoremi olarak bilinir.

(a2=b2+c2).

Üçgenin alanı değişik şekillerde hesaplanabilir. S alan, P yarım çevre (a+b+c'nin yarısı), r iç çemberin yarıçapı olmak üzere alanla ilgili

R= abc/4s, r=S/p bağıntıları vardır.

Bir açı ortay karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı olarak böler.

Bir kenara çizilen paralel diğer kenarları orantılı böler ve meydana gelen küçük üçgen, büyük üçgene benzerdir.

Üç kenara âit yüksekliklerin kesim noktasına orto-santr denir.

Üst üste konulduğunda üçgenin elemanları denen kenar ve açılar çakışırsa bu üçgenler eşittir. İki üçgenin eşit olması için şu teoremlerden birinin sağlanması gerekir:

a- Birer kenarları ve bu kenara komşu açıları eşit (AKA).

b- İkişer kenarı ve aralarındaki açıları eşit (KAK).

c- İkişer kenarı ve büyük kenarın karşısındaki açı eşit (KKA).

d- Üçer kenarı eşit.

e- Hipotenüsleriyle birer dar açıları eşit dik üçgenler.

f- Hipotenüsleriyle birer dik kenarları eşit dik üçgenler.

g- Üç açısı eşit üçgenler eşit olmayıp, sadece benzer üçgenlerdir.

Küre Yüzeyinde Üçgen: Küre yüzeyindeki bir üçgenin kenarları çember yaylarından ibârettir. Bu yayların kesim noktaları ise köşeleri teşkil eder. Kenarlar arasındaki açılar, kenar yaylarından ve küre merkezinden geçen dâirevî düzlemler arasındaki açılarla ifâde edilir. Bu açılar ise yarıçapı, küre yarıçapı olan üçgen kenar yaylarının uzunluğu ile ölçülür. Kenar yayları ve açıların her biri 180°’den küçüktür. Üç elemanı (kenar yayları veya açılar) 90° ise bu üçgen sekizde bir küre yüzeyinden ibarettir. Buna benzer pekçok (düzlemdeki üçgenden farklı olan) özellik vardır.

Pascal Üçgeni: (a+b)n gibi cebrik bir ifâdenin açılımını bulurken katsayıların tespitinde kullanılan üçgen şeklindeki sayı tablosudur. (Bkz. Binom Teoremi)