Alm. (Ober-) Fläche (f), Fr. Surface (f), İng. Surface. Cisimlerin uzay ile temas eden kısmı. İki boyutludur. Bir insanın, bir ağacın, bir dağın yüzeyi gibi karmaşık olanları olduğu gibi; masanın üstü, top, soba borusu, şeker külahı gibi geometrik olanları da vardır.

Analitik geometri, kurallı yüzeylerin genel özelliklerini ve denklemlerini inceler. Diferansiyel geometri ise, yüzeyi nokta nokta inceler.

Yüzeyin genel denklemi: Dik koordinat sisteminde bir yüzeyin genel denklemi, üç boyutlu uzayda:

F(x,y,z)= 0

veya

Z= G (x,y)

şeklindedir. Yüzey denklemi polinom şeklinde ise yüzey cebirsel olur. Birinci ve ikinci dereceden polinom şeklinde denkleme sâhip olan yüzeyler, analitik geometrinin temel konularını teşkil eder.

Yüzeylerin bir de parametrik denklemleri vardır. u ve v gibi iki parametriye bağlı olan yüzey denklemi:

x= f(u,v), y= g(u,v), z= h (u,v)

şeklindedir. u ve v parametrileri, açı veya uzunluktur. (0,2 p) aralığı, bütün reel sayılar veya bunların alt aralıklarında değişirler.

Denklemi birinci dereceden olan yüzey (Düzlem): a,b,c,d birer reel sayı olmak üzere, denklemi:

ax+by+cz+d= 0

şeklinde olan yüzeyler, bir masanın yüzeyi gibi düzlem denkleminin genel hâlidir. Buradaki a,b,c,d sayılarından bir veya birkaçının sıfır olmasına göre düzlemlerin durumu değişir.

İrdeleme:

1. d= 0 ise düzlem, başlangıç noktasından geçer.

2. a= 0 ise düzlem, x eksenine paraleldir. Benzer şekilde b= 0 ise y eksenine ve c= 0 ise düzlem “z” eksenine paralel olur.

3. a= 0, b= 0 ise düzlem, “z” eksenine dik olur. Örnek olarak x= 2 denklemi, üç boyutlu uzayda “x” ekseni üzerinde apsisi 2 olan noktadan bu eksene çizilen dik düzlemi gösterir.

4. a= b=d=0 ise, düzlem denklemi z= 0 olur ki “xoy” koordinat düzleminin kendisidir. Diğer koordinat düzlemleri y= 0 ve x= 0’dır. Aşağıda bu dört halden her birine birer misâl, dik koordinat sisteminde gösterilmiştir.

d„ o denklem 3x+y+2.z= 6

2x+3y= 6 düzlemi aşağıdaki gibidir:

x= 2 düzlemi aşağıdaki gibidir:

x= 2 düzlemi

Koordinat düzlemleri aşağıdaki gibidir:

Denklemi ikinci dereceden olan yüzeyler (Kuadrikler):

Silindir, koni, küre ile kesitleri birer konik olan elipsoit, hiperbolit, paraboloid (Konikoitler) bu gruba girerler. Hepsine birden kuadrikler denir.

Genel denklemi:

a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2xz+b3yz+c1x+c2y+c3z+d= 0 şeklindedir.

Katsayılardan bir kısmının sınır olması hâlinde çeşitli kuadrik yüzey denklemleri elde edilir.

Küre yüzeyi: Kuadriklerin genel denkleminde a1= a2= a3 ise yüzey bir küre olur. Merkezi orjinde olan küre denklemi; x2+y2+z2= R2 şeklindedir.

Koni yüzeyi: Kuadriklerin genel denkleminde C1= C2= C3= d= 0 ise tepe noktası orjinde olan özel bir koni elde edilir.

Denklemi:

f (x,y,z)=a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2xz+b3yz’dir.

Silindir yüzeyi: Genel olarak silindir yüzeyi, bir eğriye dayanarak ve bir doğruya paralel olarak hareket eden bir doğrunun taradığı yüzeye denir.

Koni yüzeyi

En çok kullanılan, ana doğrusu z eksenine paralel olup tabanı merkezî çember olan dâiresel silindir yüzeyin denklemi x2+y2=R2 şeklindedir.

Silindir yüzeyinin hesabı

Konikoitler:

1. Elipsoit: Denklemi, yüzeyin eksenleri kestiği noktaların koordinatları a,b,c olmak üzere:

2. Hiperboloit 2 türlüdür:

a) Bir parçalı hiperboloit, bir hiperbolün yedek ekseni etrâfında döndürülmesiyle elde edilir.

b) İki parçalı hiperboloit; bir hiperbolün asal ekseni etrâfında döndürülmesiyle elde edilir.

3. Paraboloit; bu da iki türlüdür:

a) Eliptik paraboloit: Bu parabolün simetri ekseni etrâfında döndürülmesiyle elde edilir.

b) Hiperboloit paraboloit (Eyer yüzeyi):

Bu yüzey at eyerine benzediği için bu ismi almıştır.

Regle yüzeyler: Bir doğrunun hareketi ile meydana gelen yüzeylere regle yüzeyler denir. Silindir ve koniler birer regle yüzeydir.

Tor yüzeyi: Aynı düzlem içinde, eğrinin kendisini kesmeyen bir doğru etrâfında dönmesiyle elde edilen yüzeye dönel yüzey denir. Bu eğri bir dâire olursa elde edilen yüzey simit veya tekerlek lastiği şeklinde sınırlı bir yüzey olur ki bu yüzeye tor yüzeyi adı verilir.

Merdiven yüzeyi: Herkesin bildiği vidada bir koni yüzeyi üzerine sarılmış helis eğrisi vardır. Dâiresel silindir üzerine sarılmış bir helis eğrisi düşünüldüğünde helis eğrisi üzerindeki noktalardan silindirin eksenine çıkılan dik doğruların geometrik yerine, merdiven yüzeyi (Helikoit) denir. Denklemi: z= Arctg y/x’dir. Minâre merdiveni veya yangın merdiveni bu yüzeye benzediğinden bu isim verilmiştir.